Definición

Un número complejo se escribe como:

z = a + bi

• a: parte real
• b: parte imaginaria

Conjugado

El conjugado de número complejo se escribe como:

z = a - bi

Operaciones Básicas

• Suma: (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
• Resta: (a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i
• Multiplicación: (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Potencias de i

Recordemos:

• \[ i=\sqrt{-1} \]
• \[ i^2 = -1 \]
• \[i^3 = -i \]
• \[ i^4 = 1 \] (ciclo cada 4)

Forma Trigonométrica

z = r(cosθ + i·senθ)

• r = |z| = \[ \sqrt{a^2+b^2} \]
• \[\theta = arctan(b/a) \]

Teorema de Moivre

(r(cosθ + i·senθ))ⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i·sen(nθ))

El teorema de De Moivre es una herramienta fundamental en álgebra que permite calcular potencias y raíces de números complejos expresados en forma polar (o trigonométrica) de manera rápida y sencilla.

Raíces enésimas

Las n raíces de z = r(cosθ + i·senθ) son:

r^(1/n)(cos((θ+2πk)/n) + i·sen((θ+2πk)/n)), k=0,...,n-1

\[ z^5=1 \] Las 5 soluciones de la raíz quinta de la unidad en el plano complejo.

La fórmula de Euler

\[ e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) \]

La fórmula de Euler o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece el teorema, en el que la relación fundamental entre las funciones trigonométricas y la función exponencial compleja.